Question

16．设函数f（x）=lnx，g（x）=m（1+$\frac{n-1}{x+1}$）（m＞0）．
（1）若函数y=f（x）-g（x）在定义域内不单调，求m-n的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得f（$\frac{2a}{x}$）•f（e^ax）+f（$\frac{x}{2a}$）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）h（x）=f（x）-g（x）=lnx-m（1+$\frac{n-1}{x+1}$）（m＞0）在定义域（0，+∞）内不单调，则函数h（x）在定义域（0，+∞）内有极值，因此h′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{m（n-1）}{（x+1）^{2}}$=0在（0，+∞）内有解．化为：u（x）=x²+（2+mn-m）x+1=0，令u（x）=x²+（2+mn-m）x+1，u（0）=0，可得$\left\{\begin{array}{l}{△=（2+mn-m）^{2}-4＞0}\\{-\frac{2+mn-m}{2}＞0}\end{array}\right.$，化简解出即可．
（2）f（$\frac{2a}{x}$）•f（e^ax）+f（$\frac{x}{2a}$）=ax•$ln\frac{2a}{x}$+$ln\frac{x}{2a}$=axln（2a）-axlnx+lnx-ln2a=u（x）．由x＞0，可得a＞0．假设存在实数a，使得f（$\frac{2a}{x}$）•f（e^ax）+f（$\frac{x}{2a}$）≤0对任意正实数x恒成立?u（x）_max≤0．u′（x）=aln（2a）-alnx-a+$\frac{1}{x}$，利用其单调性可得：存在a＞0，及其存在x₀，＞0，使得u′（x₀）=0=aln（2a）-alnx₀-a+$\frac{1}{{x}_{0}}$，使得u（x）取得极大值即最大值．由lnx₀=ln（2a）-1+$\frac{1}{a{x}_{0}}$代入u（x）_max≤0．解出即可．

解答 解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=lnx-m（1+$\frac{n-1}{x+1}$）（m＞0）在定义域（0，+∞）内不单调，
则函数h（x）在定义域（0，+∞）内有极值，
因此h′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{m（n-1）}{（x+1）^{2}}$=0在（0，+∞）内有解．
化为：u（x）=x²+（2+mn-m）x+1=0，令u（x）=x²+（2+mn-m）x+1，
∵u（0）=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（2+mn-m）^{2}-4＞0}\\{-\frac{2+mn-m}{2}＞0}\end{array}\right.$，化为mn-m＜-4，
令m-n=t，可得n=m-t．
∴m（m-t）-m＜-4，
化为t＞$m+\frac{4}{m}$-1，m＞0．
∴t的取值范围是t＞$m+\frac{4}{m}$-1，m＞0．
（2）f（$\frac{2a}{x}$）•f（e^ax）+f（$\frac{x}{2a}$）=ax•$ln\frac{2a}{x}$+$ln\frac{x}{2a}$=axln（2a）-axlnx+lnx-ln2a=u（x）．
∵x＞0，∴a＞0．
假设存在实数a，使得f（$\frac{2a}{x}$）•f（e^ax）+f（$\frac{x}{2a}$）≤0对任意正实数x恒成立?u（x）_max≤0．
u′（x）=aln（2a）-alnx-a+$\frac{1}{x}$，
∴u′（x）在x∈（0，+∞）单调递减，
x→0+，u′（x）→+∞；x→+∞，u′（x）→-∞．
因此存在a＞0，及其存在x₀，＞0，使得u′（x₀）=0=aln（2a）-alnx₀-a+$\frac{1}{{x}_{0}}$，使得u（x）取得极大值即最大值．
由lnx₀=ln（2a）-1+$\frac{1}{a{x}_{0}}$代入可得：
u（x）_max=ax₀ln（2a）-ax₀lnx₀+lnx₀-ln（2a）=ax₀-1+lnx₀-ln（2a）=ax₀-1-ln（2a）+ln（2a）-1+$\frac{1}{a{x}_{0}}$=$a{x}_{0}+\frac{1}{a{x}_{0}}$-2，
由于$a{x}_{0}+\frac{1}{a{x}_{0}}$-2≥2-2=0，因此只能去等号，当且仅当ax₀=1时取等号．
由于x₀满足lnx₀=ln（2a）-1+$\frac{1}{a{x}_{0}}$，∴ln$\frac{1}{a}$=ln（2a）-1+1，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故存在实数a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，满足条件．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法、对数的运算性质，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．