Question

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知$a=4，c=2\sqrt{2}$，$cosA=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
（1）求sinC和b的值；
（2）求$sin（2A-\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由$cosA=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，A∈（0，π）．可得sinA=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$．由a＜c，可得C为锐角，cosC．可得cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC．
sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$．
（2）由$cosA=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，A∈$（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}）$，可得2A∈$（π，\frac{3π}{2}）$．可得sin2A=2sinAcosA，cos2A=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2A}$.$sin（2A-\frac{π}{3}）$=$sin2Acos\frac{π}{3}$-$cos2Asin\frac{π}{3}$．

解答 解：（1）∵$cosA=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，A∈（0，π）．
∴sinA=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．
由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{4}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
∵a＜c，∴C为锐角．
∴cosC=$\frac{3}{4}$．
∴cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=$-（-\frac{\sqrt{2}}{4}）$×$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{14}}{4}$×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{14}}{8}$．
由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{4×\frac{\sqrt{14}}{8}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}$=2．
（2）∵$cosA=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，A∈（0，π）．
∴A∈$（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}）$，
∴2A∈$（π，\frac{3π}{2}）$．
sin2A=2sinAcosA=$2×\frac{\sqrt{14}}{4}$×$（-\frac{\sqrt{2}}{4}）$=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
cos2A=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2A}$=-$\frac{3}{4}$．
$sin（2A-\frac{π}{3}）$=$sin2Acos\frac{π}{3}$-$cos2Asin\frac{π}{3}$=$-\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{1}{2}$-$（-\frac{3}{4}）$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}}{8}$．

点评 本题考查了正弦定理、倍角公式、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．