Question

11．已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N^*，数列{a_n}满足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}={f^′}（{\frac{1}{a_n}}）$，且a₁=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记${b_n}=\sqrt{{a_n}{a_{n+1}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）并求出T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由条件可得a，b，可得f（x）的解析式，再由累加法，运用等差数列的求和公式，即可得到数列的通项；
（2）化简b_n=2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用裂项相消求和，即可得到所求；
（3）判断T_n=$\frac{4n}{2n+1}$=2-$\frac{2}{2n+1}$在n∈N^*上单调递增，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）f（x）的导数为f′（x）=2ax+b．
由题意知f′（0）=b=2n，16n²a-4nb=0，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=2n，∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2nx，n∈N^*．
又数列{a_n}满足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}={f^′}（{\frac{1}{a_n}}）$，f′（x）=x+2n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2n，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n．
由叠加法可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{4}$=2+4+6+…+2（n-1）=n²-n，化简可得a_n=$\frac{4}{（2n-1）^{2}}$（n≥2）．
当n=1时，a₁=4也符合上式，
∴a_n=$\frac{4}{（2n-1）^{2}}$（n∈N^*）．
（2）∵${b_n}=\sqrt{{a_n}{a_{n+1}}}$=$\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$=2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=2（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{4n}{2n+1}$．
故数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{4n}{2n+1}$ （n∈N^*）；
（3）T_n=$\frac{4n}{2n+1}$=2-$\frac{2}{2n+1}$在n∈N^*上单调递增，
则T_n的最小值为T₁=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用累加法和等差数列的求和公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查数列的单调性及运用：求最值，属于中档题．