题目内容
【题目】已知函数f(x)= sin(ωx﹣
)+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为
,当x∈[0,
]时,f(x)的最大值为1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度得到函数g(x)图象,若g(x)﹣3≤m≤g(x)+3在x∈[0,
]上恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)= sin(ωx﹣
)+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为
,
∴ =
,可得:T=π,由
=π,可得:ω=2,
∴f(x)= sin(2x﹣
)+b,
∵当x∈[0, ]时,2x﹣
∈[﹣
,
],
∴由于y=sinx在[﹣ ,
]上单调递增,可得当2x﹣
=
,即x=
时,函数f(x)取得最大值f(
)=
sin
+b,
∴ sin
+b=1,解得b=﹣
,
∴f(x)= sin(2x﹣
)﹣
(2)解:将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度得到函数解析式为:g(x)=
sin[2(x﹣
)﹣
]﹣
=
sin(2x﹣
)﹣
,
∵当x∈[0, ]时,可得:2x﹣
∈[﹣
,
],g(x)=
sin(2x﹣
)﹣
∈[﹣2,1],
∴g(x)﹣3∈[﹣5,﹣2],g(x)+3∈[1,4],
∵g(x)﹣3≤m≤g(x)+3在x∈[0, ]上恒成立,
∴m∈[﹣5,4].
【解析】(1)由题意可求T=π,利用周期公式可求ω的值,可得解析式f(x)= sin(2x﹣
)+b,结合范围2x﹣
∈[﹣
,
],利用正弦函数的有界性解得b的值,从而可求函数f(x)的解析式.(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求g(x)=
sin(2x﹣
)﹣
,结合范围2x﹣
∈[﹣
,
],可求范围g(x)=
sin(2x﹣
)﹣
∈[﹣2,1],结合已知可求m的取值范围.
【考点精析】通过灵活运用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,掌握图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
倍(横坐标不变),得到函数
的图象即可以解答此题.
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