Question

4．若函数y=lg[（a²-1）x²+（2a+1）x+1]，若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 把f（x）的定义域为R转化为对于任意实数x，不等式（a²-1）x²+（2a+1）x+1＞0恒成立，然后分二次项系数为0和不为0求解实数a的取值范围．

解答 解：∵函数y=lg[（a²-1）x²+（2a+1）x+1]的定义域为R，
∴对于任意实数x，不等式（a²-1）x²+（2a+1）x+1＞0恒成立．
若a²-1=0，不合题意；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{（2a+1）^{2}-4（{a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，解得：a$＜-\frac{5}{4}$．
∴实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．