题目内容
【题目】已知函数,
为自然对数的底数.
(1)若当时,
恒成立,求
的取值范围;
(2)设,若
对
恒成立,求
的最大值.
【答案】(1) (2)
的最大值为
,此时
,
【解析】试题分析:(1)因为,所以
恒成立,由于
,所以设
,则
恒成立,根据一次函数单调性即得
的取值范围;(2)令
,则原问题转化为
对
恒成立.根据二次求导可得
,
,即得
,再利用导数求函数
最大值,即得
的最大值.
试题解析:(1)由题意得,且
,注意到
设,则
,则
为增函数,且
.
讨论如下:
①若,
,得
在
上单调递增,有
,得
在
上单调递增,有
,合题意;
②若,令
,得
,则当
时,
,得
在
上单调递减,有
,得
在
上单调递减,有
,舍去.
综上, 的取值范围
.
(2)当时,
,即
.
令,则原问题转化为
对
恒成立.
令,
.
若,则
,得
单调递增,当
时,
,
不可能恒成立,舍去;
若,则
;
若,则易知
在
处取得最小值
,所以
,
,将
看做新的自变量
,即求函数
的最大值,
则,令
,得
.
所以在
上递增,在
上递减,所以
,
即的最大值为
,此时
,
.
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