题目内容
【题目】已知等差数列{an}中,公差d>0,其前n项和为Sn,且满足:a2a3=45,a1+a4=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)通过公式bn=构造一个新的数列{bn}.若{bn}也是等差数列,求非零常数c;
(3)对于(2)中得到的数列{bn},求f(n)= (n∈N*)的最大值.
【答案】(1)an=4n-3.(2) .
【解析】试题分析:
(1)由等差数列的性质可得a2+a3=14,解方程组可得a2=5,a3=9,于是可求得首项和公差,从而可得通项公式.(2)由题意得Sn=2n2-n,故,根据数列为等差数列可得2b2=b1+b3,计算可得
.经验证可得
满足题意.(3)由(2)可得
,故可根据基本不等式求最值.
试题解析:
(1)∵数列{an}是等差数列.
∴a2+a3=a1+a4=14,
由,解得
或
.
∵公差d>0,
∴a2=5,a3=9.
∴d=a3-a2=4,a1=a2-d=1.
∴.
(2)∵Sn=na1+n(n-1)d=n+2n(n-1)=2n2-n,
∴.
∵数列{bn}是等差数列,
∴2b2=b1+b3,
∴2·=
+
,
解得 (c=0舍去).
∴.
显然{bn}成等差数列,符合题意,
∴.
(3)由(2)可得
,当且仅当
,即
时等号成立.
∴f(n)的最大值为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】从某校随机抽取200名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:h)的数据,整理得到数据的频数分布表和频率分布直方图(如图).
编 号 | 分 组 | 频 数 |
1 | [0,2) | 12 |
2 | [2,4) | 16 |
3 | [4,6) | 34 |
4 | [6,8) | 44 |
续 表
编 号 | 分 组 | 频 数 |
5 | [8,10) | 50 |
6 | [10,12) | 24 |
7 | [12,14) | 12 |
8 | [14,16) | 4 |
9 | [16,18] | 4 |
合计 | 200 |
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12 h的概率;
(2)求频率分布直方图中的a,b的值;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.