Question

【题目】已知斜率为k的直线l经过点(-1,0),且与抛物线C:y2=2px(p>0,p为常数)交于不同的两点M,N.当k=时,弦MN的长为.

(1)求抛物线C的标准方程.

(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ经过点B(1,-1),判断直线NQ是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）直线方程为，代入曲线的方程，由此利用弦长公式能求出抛物线C的标准方程；

（2）设，得到直线MN的方程，同理得到MQ和NQ的方程，将点代入MN的方程，得到，由在直线MQ上，联立即可得到结论.

(1)当k=时,直线l的方程为y=(x+1),即x=2y-1.

联立消去x得y2-4py+2p=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p,故|MN|=|y1-y2|=×=4,解得p=2或p=-(舍去),

所以抛物线C的标准方程为y2=4x.

(2)设M(t2,2t),N(,2t1),Q(,2t2),则k==,则直线MN的方程为y-2t=(x-t2),即2x-(t+t1)y+2tt1=0,同理可得直线MQ的方程为2x-(t+t2)y+2tt2=0,直线NQ的方程为2x-(t1+t2)y+2t1t2=0.

由点(-1,0)在直线MN上,可得tt1=1,即t=①.由B(1,-1)在直线MQ上,可得2+t+t2+2tt2=0,将①代入可得t1t2=-2(t1+t2)-1②,将②代入直线NQ的方程可得2x-(t1+t2)y-4(t1+t2)-2=0,易得直线NQ过定点(1,-4).