题目内容

【题目】已知函数f(x)=sinx﹣xcosx.
(1)讨论f(x)在(0,2π)上的单调性;
(2)若关于x的方程f(x)﹣x2+2πx﹣m=0在(0,2π)有两个根,求实数m的取值范围.
(3)求证:当x∈(0, )时,f(x)< x3

【答案】
(1)解:f′(x)=cosx﹣(cosx﹣xsinx)=xsinx,

f'(x)>0x∈(0,π),f'(x)<0

x∈(π,2π)f(x)的递增区间(0,π),递减区间(π,2π);


(2)解:f(x)=x2﹣2πx+m,

设h(x)=x2﹣2πx+m=(x﹣π)2+m﹣π2

,解得,0<m<π2+π;


(3)证明:令g(x)=f(x)﹣ x3

则g′(x)=x(sinx﹣x),

当x∈(0, )时,设t(x)=sinx﹣x,则t′(x)=cosx﹣1<0,

所以t(x)在x∈(0, )单调递减,t(x)=sinx﹣x<t(0)=0,

即sinx<x,所以g′(x)<0,

所以g(x)在(0, )上单调递减,所以g(x)<g(0)=0,

所以f(x)< x3


【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)设h(x)=x2﹣2πx+m=(x﹣π)2+m﹣π2 , 根据二次函数的性质求出m的范围即可;(3)令g(x)=f(x)﹣ x3 , 求出函数的导数,根据函数的单调性求出g(x)<0,从而证出结论即可.

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