题目内容
【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为
,以坐标原点O为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+
=0相切.A,B分别是椭圆C的左、右顶点,直线l过B点且与x轴垂直.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设G是椭圆C上异于A,B的任意一点,过点G作GH⊥x轴于点H,延长HG到点Q使得|HG|=|GQ|,连接AQ并延长交直线l于点M,N为线段MB的中点,判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系,并证明你的结论.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)由题意可得,再由椭圆的离心率求解
的值,即可得到椭圆的标准方程;
(2)设,则
,可得
和
的方程,又由点
在椭圆上,代入化简得
,又由原点到直线QN的距离,即可作差判断.
(1)由题意可得b==1.
又∵椭圆C的离心率e==,a2=b2+c2,∴a2=4,
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设G(x0,y0),则Q(x0,2y0).
易知A(-2,0),B(2,0),可得直线AQ的方程为y=(x+2),
令x=2,可得M,∴N
,
则直线QN的方程为y-2y0=(x-x0),
即2x0y0x-(-4)y-8y0=0①.
又∵点G在椭圆C上,
∴+
=1,∴①式可化为x0x+2y0y-4=0,
∴原点(0,0)到直线QN的距离为=2.
又易知以AB为直径的圆O的半径为2,
故直线QN与以AB为直径的圆O相切.
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