Question

3．已和AD是△ABC的角平分线，且AC=2，AB=3，A=60°，
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．

Answer 1

分析 （1）利用三角形面积公式即可得解．
（2）由余弦定理可得BC的值，在△ABC中用正弦定理计算可得sinB，用角平分线定理可得BD，在△ABD中用正弦定理即可得AD的值．

解答 解：（1）∵AC=2，AB=3，A=60°，
∴S=$\frac{1}{2}AB•AC•sinA$=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．…（4分）
（2）由余弦定理可得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cosA}$=$\sqrt{9+4-2×2×3×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$．…（6分）
在△ABC中用正弦定理计算sinB=$\frac{AC•sinA}{BC}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，…（8分）
用角平分线定理可得：BD=$\frac{3}{5}$BC=$\frac{3\sqrt{7}}{5}$，…（10分）
在△ABD中用正弦定理得AD=$\frac{BD•sinB}{sin\frac{A}{2}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{7}}{5}×\frac{\sqrt{21}}{7}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，角平分线定理等知识的应用，属于基本知识的考查．