题目内容
【题目】如图,将数字1,2,3,…, (
)全部填入一个2行
列的表格中,每格填一个数字,第一行填入的数字依次为
,
,…,
,第二行填入的数字依次为
,
,…,
.记
.
(Ⅰ)当时,若
,
,
,写出
的所有可能的取值;
(Ⅱ)给定正整数.试给出
,
,…,
的一组取值,使得无论
,
,…,
填写的顺序如何,
都只有一个取值,并求出此时
的值;
(Ⅲ)求证:对于给定的以及满足条件的所有填法,
的所有取值的奇偶性相同.
【答案】(Ⅰ)3,5,7,9.(Ⅱ) (Ⅲ)奇偶性相同.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)根据题意,易知的所有可能的取值为3,5,7,9.(Ⅱ)令
(
,
,…,
),则无论
,
,…,
填写的顺序如何,都有
.∵
,∴
,(
,
,…,
),∵
(
,2,…,
),所以
.(Ⅲ)显然,交换每一列中两个数的位置,所得的
的值不变.不妨设
,记
,
,其中
1,2,…,
,
则,因为
,所以
与
具有相同的奇偶性,又因为
与
的奇偶性相同,所以
的所有可能取值的奇偶性相同.
试题解析:
(Ⅰ)的所有可能的取值为3,5,7,9.
(Ⅱ)令(
,
,…,
),则无论
,
,…,
填写的顺序如何,都有
.
∵,∴
,(
,
,…,
),
∵(
,2,…,
),
所以.
(Ⅲ)显然,交换每一列中两个数的位置,所得的的值不变.
不妨设,记
,
,其中
1,2,…,
,
则,
因为,
所以与
具有相同的奇偶性,
又因为与
的奇偶性相同,
所以的所有可能取值的奇偶性相同.
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