题目内容
【题目】已知函数
，曲线
在点
处的切线与直线
垂直（其中
为自然对数的底数）．
（I）求
的解析式及单调递减区间；
（II）是否存在常数
，使得对于定义域内的任意
恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）递减区间为
和
，增区间为
.（2）
【解析】试题分析：
(1)利用切线的斜率求得
即可确定函数的解析式，然后结合函数的导函数和定义域即可确定函数
的单调递减区间为
和
, 函数
的的单调增区间为
.
(2)问题等价于
，分别讨论
和
两种情况可得： 
.
试题解析：
（1）
， 
，
由题意有： 
即： 
， 
，由
或
，
函数
的单调递减区间为
和
由
， 
函数
的的单调增区间为
.
（2）要
恒成立，即
①当
时， 
，则要： 
恒成立，
令
，则
，
再令
，则
，所以
在
单调递减，
， 
， 
在
单调递增，
， 
②当
时， 
，则要
恒成立，
由①可知，当
时， 
， 
在
单调递增，
当
时， 
， 
，
在
单调递增， 
， 
综合①，②可知： 
，即存在常数
满足题意.
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