题目内容
【题目】已知点是圆心为
的圆
上的动点,点
,
为坐标原点,线段
的垂直平分线交
于点
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过原点作直线
交(1)中的轨迹
于点
,点
在轨迹
上,且
,点
满足
,试求四边形
的面积的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】【试题分析】(1)借助椭圆的定义分析求解;(2)先借助题设将题设条件进行等价转化,再建立目标函数运用基本不等式进行分析探求:
(1)由于点在线段
的垂直平分线上,故
,因此
,故点
轨迹为椭圆,其中
,
,因此
点的轨迹
的方程为
.
(2)由,知四边形
为平行四边形,故
.
(i)当为长轴(或短轴)时,依题意,知点
就是椭圆的上下顶点(或左右顶点),此时
,即
.
(ii)当直线的斜率存在且不为0时,设斜率为
,则直线
的方程为
,联立方程
,消去
,得
,故
,
,
所以,由
,知
为等腰三角形,
为
的中点,所以
,所以直线
的方程为
,
同理,得,
,
设,则
,
而,所以当
时,
,又
,所以
,
所以,
综上所述, .
所以四边形的面积的取值范围为
.
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