题目内容
【题目】已知数列为公差不为的等差数列, 为前项和, 和的等差中项为,且.令数列的前项和为.
(1)求及;
(2)是否存在正整数成等比数列?若存在,求出所有的的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ),
(Ⅱ)当可以使成等比数列.
【解析】试题分析:(1)由于和的等差中项为,可得,又.利用等差数列通项公式将其转化为表示,解方程组求出其值,进而得到,结合通项公式特点可采用裂项相消法求和;
(2)假设存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列,则,当m=2时,化为,解得一组m,n的值满足条件.当m≥3时,由于关于m单调递增,可知,化为5n+27≤0,由于n>m>1,可知上式不成立
试题解析:(Ⅰ)因为为等差数列,设公差为,则由题意得
整理得
所以
由
所以
(Ⅱ)假设存在
由(Ⅰ)知, ,所以
若成等比,则有
,(1)
因为,所以,
因为,当时,带入(1)式,得;
综上,当可以使成等比数列.
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