Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，记的极小值为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）当时，单调递增；当时，递增区间为，递减区间；当时，递增区间，递减区间； （2）证明见解析.

【解析】

（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；

（2）由（1）可知，取得，把，转化为，

设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

（1）由题意，函数，

则，

①当时，，此时函数单调递增；

②当时，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函数在单调递增，在上单调递减；

③当时，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函数在单调递增，在上单调递减，

综上可得：

当时，函数单调递增；当时，函数递增区间为，递减区间；当时，函数递增区间，递减区间.

（2）由（1）可知，当时，在单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得极小值，

极小值为，

要证：，只需证：，只需证：，

即，

设，则，

令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，取得最大值，最大值为，

即当时，，即，

所以.