题目内容
【题目】已知函数,其中常数.
(1)当时,求函数的单调区间.
(2)设定义在上的函数在点处的切线方程为.当时,若在内恒成立,则称为函数的“类对称点”.当时,是否存在“类对称点”?若存在,请求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)单调递增区间为和,单调递减区间为;(2)存在,横坐标为.
【解析】
(1)由题得的定义域为,,由求得单调增区间,由求得单调减区间即可.
(2)当时,,求得在处的切线方程,求得,然后根据“类对称点”的定义求“类对称点”的横坐标即可.
解:(1)函数的定义域为.
.
.
由,即,得或.
由,得.
∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.
(2)存在.
当时,,
∴在点处的切线的斜率为,
∴在点处的切线方程为.
令,
则.
,
令,得或.
①当,即时,
令,则,
∴函数在区间上单调递减,
又易知,∴当时,,从而有时,.
②当,即时,
令,则,
∴函数在区间上单调递减,
∴当时,,从而有时,.
综合①②,当时,函数不存在“类对称点”.
③当即时,
,∴函数在上是增函数.
若,则;
若,则.故恒成立.
综上,当时,函数存在“类对称点”,其横坐标为.
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