题目内容

【题目】已知函数,其中常数

1)当时,求函数的单调区间.

2)设定义在上的函数在点处的切线方程为.当时,若内恒成立,则称为函数类对称点.当时,是否存在类对称点?若存在,请求出一个类对称点的横坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)单调递增区间为,单调递减区间为;(2)存在,横坐标为.

【解析】

1)由题得的定义域为,由求得单调增区间,由求得单调减区间即可.

2)当时,,求得在处的切线方程,求得,然后根据“类对称点”的定义求“类对称点”的横坐标即可.

解:(1)函数的定义域为

,即,得

,得.

函数的单调递增区间为,单调递减区间为

2)存在.

时,

在点处的切线的斜率为

在点处的切线方程为

,得

,即时,

,则

函数在区间上单调递减,

又易知时,,从而有时,

,即时,

,则

函数在区间上单调递减,

时,,从而有时,

综合①②,当时,函数不存在类对称点

时,

函数上是增函数.

,则

,则.故恒成立.

综上,当时,函数存在类对称点,其横坐标为

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