题目内容

【题目】已知点为双曲线的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线于点,且,圆的方程是.

1)求双曲线的方程;

2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为,求的值;

3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线两点,中点为,求证:

【答案】1;(2;(3)详见解析.

【解析】

(1),根据可得,利用双曲线的定义可得从而得到双曲线的方程.

(2)设点,利用渐近线的斜率可以得到夹角的余弦为,利用点在双曲线上又可得为定值,故可得的值.

(3)设切线的方程为:证明等价于证明,也就是证明 ,联立切线方程和双曲线方程,消元后利用韦达定理可以证明.

(1)设的坐标分别为,

因为点在双曲线上,所以,即,所以

中, ,,所以

由双曲线的定义可知:

故双曲线的方程为: .

(2)由条件可知:两条渐近线分别为.

设双曲线上的点,

的倾斜角为,则,又 ,所以

所以的夹角为,且.

到两条渐近线的距离分别为.

因为在双曲线上,所以

所以.

(3)由题意,即证: ,设,

切线的方程为: .

时,切线的方程代入双曲线中,化简得:

(

所以.

所以.

时,易知上述结论也成立.所以.

综上, ,所以.

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