Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，过且垂直于线段的直线交射线于点．

（1）证明：点在定直线上；

（2）当最大时，求的面积．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】试题分析：（1）设所在直线为，联立方程组，得到，进而得到所在直线方程，再联立方程组，即可得到顶点的坐标．

（2）由（1）得点的坐标为，求得向量则，利用向量的夹角公式，求解的最小值，得到此时，求得，即可求得三角形的面积．

试题解析：

（1）显然椭圆的右焦点的坐标为，

设所在直线为：，且．

联立方程组：，得：；

其中，

点的坐标为所在直线方程为：．

所在的直线方程为：，

联立方程组：，得，

故点在定直线上；

（2）由（1）得：由得点的坐标为，且，

则，

，

（当且仅当不等式取等号），

若取得最小值时，最大，此时；

；

；

．