题目内容
【题目】已知椭圆的左焦点为
,经过点
的直线与椭圆相交于
,
两点,点
为线段
的中点,点
为坐标原点.当直线
的斜率为
时,直线
的斜率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点为椭圆的左顶点,点
为椭圆的右顶点,过
的动直线交该椭圆于
,
两点,记
的面积为
,
的面积为
,求
的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由点差法及椭圆的几何性质即可求出椭圆的标准方程(2)设直线的方程为
,求出三角形面积得
,联立方程组,由根与系数的关系可得关于m的函数式,换元后由均值不等式求最值即可.
(1)设,
,则点
,由条件知,
直线的斜率为
,直线
的斜率为
,
而,两式作差得,
,
所以,即
,
又左焦点为,所以
,
所以椭圆的标准方程为
.
(2)设直线的方程为
,记
,
过标为
,
,
则,
,
所以.
联立方程,,消去
,得
,
所以,
,
,令
,则
,且
,当且仅当
时等号成立,
所以,即
的最大值为
.
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