题目内容

【题目】已知函数在点处切线的斜率为1.

(1)求的值;

(2)设,若对任意,都有,求实数的取值范围.

【答案】(1)-1;(2).

【解析】

(1)由题意,求得函数的导数,由,即,即可求解的值.

(2)由对任意,都有,转化为对任意,都有,设,利用导数求得函数上单调性,可得,设,利用导数求得函数的单调性与最值,进而可得到答案.

(1)由题意得,

由于,所以,即.

(2)由题意得,当时,,则有.

下面证当时,对任意,都有.

由于时,,当时,则有.

只需证明对任意,都有.

证明:设,则,所以上单调递增;

所以当时,,即

所以,则.

,则.

,则.

由于当时,;当时,

则当时,.

时,,所以当时,则,所以上单调递增.

时,则,即,所以上单调递增.

时,则.

所以对任意,都有.

所以,当时,对任意,都有.

练习册系列答案
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为,M为椭圆上任意一点,当∠F1MF2=90°时,△F1MF2的面积为1.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,延长直线AF1,AF2分别与椭圆交于点B,D,设直线BD的斜率为k1,直线OA的斜率为k2,求证:k1·k2等于定值.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析

【解析】

Ⅰ)由题意可求得,则,椭圆的方程为.

Ⅱ)设

当直线的斜率不存在或直线的斜率不存在时,.

当直线的斜率存在时,,设直线的方程为联立直线方程与椭圆方程,结合韦达定理计算可得直线的斜率为直线的斜率为.综上可得:直线的斜率之积为定值.

Ⅰ)设由题

解得,则椭圆的方程为.

Ⅱ)设,当直线的斜率不存在时,

,则,直线的方程为代入

可得 ,则,

直线的斜率为,直线的斜率为

当直线的斜率不存在时,同理可得.

当直线的斜率存在时,设直线的方程为

则由消去可得:

,则,代入上述方程可得:

设直线的方程为,同理可得

直线的斜率为

直线的斜率为 .

所以,直线的斜率之积为定值,即.

【点睛】

(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

型】解答
束】
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【题目】已知函数f(x)=(x+b)(-a),(b>0),在(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0.

(Ⅰ)求a,b;

(Ⅱ)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x1<x2,证明:x2-x1≤1+

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