题目内容
已知向量
=(
sinωx,cosωx),
=(cosωx,-cosωx),ω>0,记函数f(x)=
•
,已知f(x)的最小正周期为
.
(1)求ω的值;
(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,求此时函数f(x)的值域.
a |
3 |
b |
a |
b |
π |
2 |
(1)求ω的值;
(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,求此时函数f(x)的值域.
(1)函数f(x)=
•
=
sinωxcosωx-cos2ωx
=
sin(2ωx)-
=[sin(2ωx)cos
-cos(2ωx)sin
]-
=sin(2ωx-
)-
,
∵T=
,
∴T=
=
,解得ω=2.
(2)由(1)可得f(x)=sin(4x-
)-
.
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosx,
又∵b2=ac,
∴cosx=
≥
=
,当且仅当a=c时取等号.
∵x∈(0,π),
∴0<x≤
.
∴-
<4x-
≤
.
∴-
≤sin(4x-
)≤1,
∴-1≤sin(4x-
)≤
.
∴函数f(x)的值域为[-
,
].
a |
b |
=
3 |
=
| ||
2 |
1+cos(2ωx) |
2 |
=[sin(2ωx)cos
π |
6 |
π |
6 |
1 |
2 |
=sin(2ωx-
π |
6 |
1 |
2 |
∵T=
π |
2 |
∴T=
π |
2 |
2π |
2ω |
(2)由(1)可得f(x)=sin(4x-
π |
6 |
1 |
2 |
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosx,
又∵b2=ac,
∴cosx=
a2+c2-ac |
2ac |
2ac-ac |
2ac |
1 |
2 |
∵x∈(0,π),
∴0<x≤
π |
3 |
∴-
π |
6 |
π |
6 |
7π |
6 |
∴-
1 |
2 |
π |
6 |
∴-1≤sin(4x-
π |
6 |
1 |
2 |
∴函数f(x)的值域为[-
1 |
2 |
1 |
2 |
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