题目内容

已知向量
a
=(
3
sinωx,cosωx)
b
=(cosωx,-cosωx),ω>0,记函数f(x)=
a
b
,已知f(x)的最小正周期为
π
2

(1)求ω的值;
(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,求此时函数f(x)的值域.
(1)函数f(x)=
a
b

=
3
sinωxcosωx-cos2ωx

=
3
2
sin(2ωx)-
1+cos(2ωx)
2

=[sin(2ωx)cos
π
6
-cos(2ωx)sin
π
6
]
-
1
2

=sin(2ωx-
π
6
)-
1
2

T=
π
2

∴T=
π
2
=
,解得ω=2.
(2)由(1)可得f(x)=sin(4x-
π
6
)-
1
2

由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosx,
又∵b2=ac,
cosx=
a2+c2-ac
2ac
2ac-ac
2ac
=
1
2
,当且仅当a=c时取等号.
∵x∈(0,π),
0<x≤
π
3

-
π
6
<4x-
π
6
6

-
1
2
≤sin(4x-
π
6
)≤1

-1≤sin(4x-
π
6
)≤
1
2

∴函数f(x)的值域为[-
1
2
1
2
]
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