题目内容

点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则
PA
PC1
的取值范围是(  )
A.[-1,-
1
4
]
B.[-
1
2
,-
1
4
]
C.[-1,0]D.[-
1
2
,0]
如图所示:以点D为原点,以DA所在的直线为x轴,以DC所在的直线为y轴,以DD1所在的直线为z轴,
建立空间直角坐标系.
则点A(1,0,0),C1(0,1,1),设点P的坐标为(x,y,z),则由题意可得 0≤x≤1,0≤y≤1,z=1.
PA
=(1-x,-y,-1),
PC1
=(-x,1-y,0),
PA
PC1
=-x(1-x)-y(1-y)+0=x2-x+y2-y=(x-
1
2
)
2
+(y-
1
2
)
2
-
1
2

由二次函数的性质可得,当x=y=
1
2
时,
PA
PC1
取得最小值为-
1
2

故当x=0或1,且y=0或1时,
PA
PC1
取得最大值为0,
PA
PC1
的取值范围是[-
1
2
,0],
故选D.
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