题目内容
椭圆G：
+
=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1（-c，0），F2（c，0），M是椭圆上的一点，且满足
•
=0．
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5
；
①求此时椭圆G的方程；
②设斜率为k（k≠0）的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P(0，-
)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| F1M |
| F2M |
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5
| 2 |
①求此时椭圆G的方程；
②设斜率为k（k≠0）的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P(0，-
| ||
| 3 |
（1）设M（x，y），则
=(x+c，y)，
=(x-c，y)
由
•
=0⇒x2+y2=c2⇒y2=c2-x2（1分）
又M在椭圆上，∴y2=b2-
x2（2分）
∴c2-x2=b2-
x2⇒x2=a2-
，（3分）
又0≤x2≤a2∴0＜2-
≤1⇒
≤e≤1，（4分）
∵0＜e＜1，∴
≤e＜1（5分）
（2）①当e=
时得椭圆为
+
=1
设H（x，y）是椭圆上一点，
则|HN|2=x2+（y-3）2=（2b2-2y2）+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b）
（6分）
设0＜b＜3，则-3＜-b＜0，当y=-b时，|HN|max2=b2+6b+9，，由题意得b2+6b+9=50
∴b=-3±5
，与0＜b＜3矛盾，（7分）
设b≥3得-b≤-3，当y=-3时，|HN|max2=2b2+18，，由2b2+18=50得b2=16，（合题薏）
∴椭圆方程是：
+
=1（8分）
②．设l：y=kx+m由
⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0
而△＞0⇒m2＜32k2+16（9分）
又A、B两点关于过点P(0，-
)、Q的直线对称
∴kPQ=-
，设A（x1，y1），B（x2，y2），则xQ=-
，yQ=
（10分）
∴
=-
⇒m=
（11分）
∴(
)2＜32k2+16⇒0＜k2＜
（10分）
又k≠0，∴-
＜k＜0或0＜k＜
（11分）
∴需求的k的取值范围是-
＜k＜0或0＜k＜
（12分）
| F1M |
| F2M |
由
| F1M |
| F2M |
又M在椭圆上，∴y2=b2-
| b2 |
| a2 |
∴c2-x2=b2-
| b2 |
| a2 |
| a2b2 |
| c2 |
又0≤x2≤a2∴0＜2-
| 1 |
| e2 |
| ||
| 2 |
∵0＜e＜1，∴
| ||
| 2 |
（2）①当e=
| ||
| 2 |
| x2 |
| 2b2 |
| y2 |
| b2 |
设H（x，y）是椭圆上一点，
则|HN|2=x2+（y-3）2=（2b2-2y2）+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b）
（6分）
设0＜b＜3，则-3＜-b＜0，当y=-b时，|HN|max2=b2+6b+9，，由题意得b2+6b+9=50
∴b=-3±5
| 2 |
设b≥3得-b≤-3，当y=-3时，|HN|max2=2b2+18，，由2b2+18=50得b2=16，（合题薏）
∴椭圆方程是：
| x2 |
| 32 |
| y2 |
| 16 |
②．设l：y=kx+m由
|
而△＞0⇒m2＜32k2+16（9分）
又A、B两点关于过点P(0，-
| ||
| 3 |
∴kPQ=-
| 1 |
| k |
| 2km |
| 1+2k2 |
| m |
| 1+2k2 |
∴
yQ+
| ||||
| xQ |
| 1 |
| k |
| 1+2k2 | ||
|
∴(
| 1+2k2 | ||
|
| 47 |
| 2 |
又k≠0，∴-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴需求的k的取值范围是-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
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，若
（
），则
的最小值为（ ）
