题目内容

椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1（-c，0），F2（c，0），M是椭圆上的一点，且满足
F1M
•
F2M
=0．
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5
2
；
①求此时椭圆G的方程；
②设斜率为k（k≠0）的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P(0，-
3
3
)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．
（1）设M（x，y），则
F1M
=(x+c，y)，
F2M
=(x-c，y)
由
F1M
•
F2M
=0⇒x2+y2=c2⇒y2=c2-x2（1分）
又M在椭圆上，∴y2=b2-
b2
a2
x2（2分）
∴c2-x2=b2-
b2
a2
x2⇒x2=a2-
a2b2
c2
，（3分）
又0≤x2≤a2∴0＜2-
1
e2
≤1⇒
2
2
≤e≤1，（4分）
∵0＜e＜1，∴
2
2
≤e＜1（5分）
（2）①当e=
2
2
时得椭圆为
x2
2b2
+
y2
b2
=1
设H（x，y）是椭圆上一点，
则|HN|2=x2+（y-3）2=（2b2-2y2）+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b）
（6分）
设0＜b＜3，则-3＜-b＜0，当y=-b时，|HN|max2=b2+6b+9，，由题意得b2+6b+9=50
∴b=-3±5
2
，与0＜b＜3矛盾，（7分）
设b≥3得-b≤-3，当y=-3时，|HN|max2=2b2+18，，由2b2+18=50得b2=16，（合题薏）
∴椭圆方程是：
x2
32
+
y2
16
=1（8分）
②．设l：y=kx+m由
x2
32
+
y2
16
=1
y=kx+m
⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0
而△＞0⇒m2＜32k2+16（9分）
又A、B两点关于过点P(0，-
3
3
)、Q的直线对称
∴kPQ=-
1
k
，设A（x1，y1），B（x2，y2），则xQ=-
2km
1+2k2
，yQ=
m
1+2k2
（10分）
∴
yQ+
3
3
xQ
=-
1
k
⇒m=
1+2k2
3
（11分）
∴(
1+2k2
3
)2＜32k2+16⇒0＜k2＜
47
2
（10分）
又k≠0，∴-
94
2
＜k＜0或0＜k＜
94
2
（11分）
∴需求的k的取值范围是-
94
2
＜k＜0或0＜k＜
94
2
（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知|
a
|=1，
a
•
b
=
1
2
，（
a
-
b
）•（
a
+
b
）=
1
2
，求：
（1）
a
与
b
的夹角；
（2）
a
-
b
与
a
+
b
的夹角的余弦值．
已知向量
a
=(2，1)，
b
=(-1，k)，若
a
⊥(2
a
-
b
)，则k等于（　　）
A．6B．-6C．12D．-12
已知向量
a
=(
3
sinωx，cosωx)，
b
=（cosωx，-cosωx），ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
，已知f（x）的最小正周期为
π
2
．
（1）求ω的值；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．
已知向量
QA
=（-1，2，5），
QB
=（4，7，m），若
QA
⊥
AB
，则m=______．
已知O坐标原点，点M（1，-2），点N（x，y）
x≥1
x-2y≤1
x-4y+3≥0
，则
OM
•
ON
的最大值为______．
已知向量
a
与
b
的夹角为120°，且|
a
|=|
b
|=4，那么
b
•（2
a
+
b
）=（　　）
A．32B．16C．0D．-16
在直角三角形ABC中，CA=4，CB=2，M为斜边AB的中点，则
AB
•
MC
的值为（　　）
A．1B．10C．
5
D．6
设向量，若（），则的最小值为（   ）
A．B．C．D．

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