题目内容
已知(m为常数,m>0且)
设是首项为4,公差为2的等差数列.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,且数列{bn}的前n项和,当时,求
(3)若,问是否存在,使得中每一项恒小于它后面的项?
若存在,求出的范围;若不存在,说明理由.
设是首项为4,公差为2的等差数列.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,且数列{bn}的前n项和,当时,求
(3)若,问是否存在,使得中每一项恒小于它后面的项?
若存在,求出的范围;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)由题意 即
∴ …………2分
∴ ∵m>0且,∴m2为非零常数,
∴数列{an}是以m4为首项,m2为公比的等比数列 …………4分
(Ⅱ)由题意,
当
∴ ① …………6分
①式两端同乘以2,得
② …………7分
②-①并整理,得
=
…10分
(Ⅲ)由题意
要使对一切成立,即 对一切 成立,
①当m>1时, 成立; …………12分
②当0<m<1时,
∴对一切 成立,只需,
解得 , 考虑到0<m<1, ∴0<m<
综上,当0<m<或m>1时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.
∴ …………2分
∴ ∵m>0且,∴m2为非零常数,
∴数列{an}是以m4为首项,m2为公比的等比数列 …………4分
(Ⅱ)由题意,
当
∴ ① …………6分
①式两端同乘以2,得
② …………7分
②-①并整理,得
=
…10分
(Ⅲ)由题意
要使对一切成立,即 对一切 成立,
①当m>1时, 成立; …………12分
②当0<m<1时,
∴对一切 成立,只需,
解得 , 考虑到0<m<1, ∴0<m<
综上,当0<m<或m>1时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.
略
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