题目内容
(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知数列中, .
(Ⅰ)设,求数列的通项公式;
(Ⅱ)求使不等式成立的的取值范围.
已知数列中, .
(Ⅰ)设,求数列的通项公式;
(Ⅱ)求使不等式成立的的取值范围.
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅱ)
本小题主要考查递推数列、数列的前n项和的求法、不等式的解法,同时考查逻辑思维能力、运算能力、综合分析与解决问题能力,同时考查转化的思想.
(Ⅰ),
.
,又,故,
所以是首项为,公比为4的等比数列,
,
.
(Ⅱ)
用数学归纳法证明:当时.
(ⅰ)当时,,命题成立;
(ⅱ)设当时,,则当时,
.
故由(ⅰ),(ⅱ)知当时.
当时,令,由.
当时,,
当时,,且,
于是,
.
当时,.
因此不符合要求.
所以的取值范围是.
(Ⅰ),
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,又,故,
所以是首项为,公比为4的等比数列,
,
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(Ⅱ)
用数学归纳法证明:当时.
(ⅰ)当时,,命题成立;
(ⅱ)设当时,,则当时,
.
故由(ⅰ),(ⅱ)知当时.
当时,令,由.
当时,,
当时,,且,
于是,
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当时,.
因此不符合要求.
所以的取值范围是.
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