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数列
满足
,其中
,求
值,猜想
,并用数学归纳法加以证明。
(本题满分15分)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家,杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.下图是一个11阶杨辉三角:
(1)求第20行中从左到右的第3个数;
(2)若第
行中从左到右第13与第14个数的比为
,求
的值;
(3)写出第
行所有数的和,写出
阶(包括
阶)杨辉三角中的所有数的和;
(4)在第3斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第4斜列中,第5个数为35,我们发现
,事实上,一般地有这样的结论:第
斜列中(从右上到左下)前
个数之和,一定等于第
斜列中第
个数.
试用含有
,
的数学式子表示上述结论,并证明.
(本小题满分14分)
已知函数
(
为常数,
且
),且数列
是首项为4,
公差为2的等差数列.
(Ⅰ)求证:数列
是等比数列;
(Ⅱ)若
,当
时,求数列
的前
项和
;
(III)若
,且
>1,比较
与
的大小.
(示范性高中做)
已知数列
的首项
前
项和为
,且
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)令
,求数列
的前n项和
.
(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知数列
中,
.
(Ⅰ)设
,求数列
的通项公式;
(Ⅱ)求使不等式
成立的
的取值范围.
在等差数列{
}中,
则
A.20
B.22
C.24
D.28
用火柴棒摆“金鱼”,如下图所示;
按照上面的规律,第
个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______________。
(本小题满分14分)
已知函数
,对于任意的
,都有
.
(Ⅰ)求
的取值范围;
(Ⅱ)若
,证明
;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下证明
.
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