Question

20．已知椭圆C：9x²+16y²=1和圆O：25x²+25y²=1，直线l与圆O相切且与椭圆C交于M，N两点，则角∠MON=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由题意分直线l的斜率存在和不存在分析，当直线l的斜率不存在时，求出M，N的坐标，由向量数量积为0可得∠MON=$\frac{π}{2}$；当直线的斜率不存在时，设出直线l的方程，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，借助于根与系数的关系及平面向量数量积的运算求得$∠MON=\frac{π}{2}$．

解答 解：当直线l与与圆O相切时，且斜率不存在时，直线方程为x=$±\frac{1}{5}$，
当直线方程为x=$\frac{1}{5}$时，可得两点坐标为（$\frac{1}{5}，\frac{1}{5}$），（$\frac{1}{5}，-\frac{1}{5}$），
∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，∴∠MON=$\frac{π}{2}$；同理当x=-$\frac{1}{5}$时，∠MON=$\frac{π}{2}$；
当直线l与x轴不垂直时，设直线方程为y=kx+b，
由直线与圆相切，可得d=$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{5}$，即25b²=k²+1  ①，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{9{x}^{2}+16{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（9+16k²）x²+32kbx+16b²-1=0．
△＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{32kb}{9+16{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{16{b}^{2}-1}{9+16{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+kb（{x}_{1}+{x}_{2}）+{b}^{2}=\frac{25{b}^{2}-{k}^{2}-1}{9+16{k}^{2}}$  ②，
由①②得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，即$∠MON=\frac{π}{2}$．
综上，∠MON=$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量在解题中的应用，是中档题．