题目内容

10.设二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0),方程f(x)=x的两个实数根为x1,x2,若0<x1<2,|x2-x1|=2,求实数b的取值范围.

分析 先有a>0,知两根同号,在分x2-x1=2,或x1-x2=2两种情况来讨论,最后综合讨论结果,可求b的取值范围.

解答 解:由g(x)=ax2+(b-1)x+1=0,知x1•x2=$\frac{1}{a}$>0,故x1与x2同号.
∵0<x1<2,|x2-x1|=2,
∴x2-x1=2,或x1-x2=2,
当x2-x1=2时,
∴x2=x1+2>2.
∴$\left\{\begin{array}{l}g(2)<0\\ g(4)>0\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}4a+2b-1<0\\ 16a+4b-3>0\end{array}\right.$⇒b<$\frac{1}{4}$,
当x1-x2=2时,x2=x1-2<0不满足条件,
∴b的取值范围为b<$\frac{1}{4}$.

点评 利用函数的零点求参数范围问题,通常有两种解法:一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解.二种是构造两个函数分别作出图象,利用数形结合求解.此类题目也体现了函数与方程,数形结合的思想.

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