Question

12．已知函数$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$（m∈Z）的图象关于y轴对称，且f（3）＜f（5）．求m的值．

Answer 1

分析 由幂函数$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$（m∈Z）的图象关于y轴对称，且f（3）＜f（5）．可得幂函数$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$（m∈Z）的在（0，+∞）上为增函数，且为偶函数，结合幂函数的图象和性质，可得m的值．

解答 解：∵幂函数$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$（m∈Z）的图象关于y轴对称，且f（3）＜f（5）．
故幂函数$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$（m∈Z）的在（0，+∞）上为增函数，且为偶函数，
即-2m²+m+3＞0，解得：m∈（-1，$\frac{3}{2}$），即m=0，或m=1，
∵m=0时，函数$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$=x³为奇函数不满足条件，
m=1时，函数$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$=x²为偶函数满足条件，
故m=1．

点评 本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，熟练掌握幂函数的单调性和奇偶性与指数的关系，是解答的关键．