Question

10．函数y=（$\frac{1}{4}$）^x+（$\frac{1}{2}$）^x-1（x≤-1）的值域是[8，+∞）．

Answer 1

分析 配方便可得到$y=[（\frac{1}{2}）^{x}+1]^{2}-1$，从而根据x≤-1可以得出$（\frac{1}{2}）^{x}$的范围，从而得到$[（\frac{1}{2}）^{x}+1]^{2}$的范围，进一步得到y的范围，即得出该函数的值域．

解答 解：$y=（\frac{1}{2}）^{2x}+2•（\frac{1}{2}）^{x}=[（\frac{1}{2}）^{x}+1]^{2}-1$；
x≤-1；
∴$（\frac{1}{2}）^{x}≥（\frac{1}{2}）^{-1}=2$；
∴$[（\frac{1}{2}）^{x}+1]^{2}≥9$；
∴y≥8；
∴该函数的值域为[8，+∞）．
故答案为：[8，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，配方处理二次式子的方法，以及指数函数的单调性，根据不等式的性质求值域．