Question

14．已知函数f（x）=$\frac{x}{4}$+$\frac{a}{x}$-lnx-$\frac{3}{2}$，其中a∈R，且曲线y=f（x在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=$\frac{1}{2}$x．
（1）求a的值及在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线方程，可得a，进而得到切线方程；
（2）求得函数的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，即可得到极值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-lnx-\frac{3}{2}$的导数为
f′（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-$\frac{3}{4}$-a，
由于切线垂直于直线y=$\frac{1}{2}$x，即有-$\frac{3}{4}$-a=-2，
解得a=$\frac{5}{4}$，
则f（x）=$\frac{x}{4}$+$\frac{5}{4x}$-lnx-$\frac{3}{2}$，f（1）=$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{4}$-$\frac{3}{2}$=0，
则在点（1，0）处的切线方程为y=-2（x-1），即为2x+y-2=0；
（2）f（x）=$\frac{x}{4}$+$\frac{5}{4x}$-lnx-$\frac{3}{2}$，（x＞0），
导数f′（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{5}{4{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-4x-5}{4{x}^{2}}$=$\frac{（x-5）（x+1）}{4{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0，解得x＞5；由f′（x）＜0，解得0＜x＜5．
则f（x）的增区间为（5，+∞），减区间为（0，5），
即有f（x）的极小值为f（5）=-ln5，无极大值．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查运算能力，属于中档题．