Question

4．证明：1＜$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b}{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\frac{d}{d+a+c}$＜2（其中a，b，c，d∈R⁺）

Answer 1

分析 通过将分母放大可知$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b}{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\frac{d}{d+a+c}$＞1，通过将分数值放大可知$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b}{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\frac{d}{d+a+c}$＜2．

解答 证明：∵a，b，c，d∈R⁺，
∴$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b}{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\frac{d}{d+a+c}$
＞$\frac{a}{a+b+c+d}$+$\frac{b}{a+b+c+d}$+$\frac{c}{a+b+c+d}$+$\frac{d}{a+b+c+d}$
=$\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}$
=1，
$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b}{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\frac{d}{d+a+c}$
＜$\frac{a+c}{a+b+c+d}$+$\frac{b+d}{a+b+c+d}$+$\frac{c+a}{a+b+c+d}$+$\frac{d+b}{a+b+c+d}$
=$\frac{2（a+b+c+d）}{a+b+c+d}$
=2，
∴1＜$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b}{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\frac{d}{d+a+c}$＜2．

点评 本题考查不等式的证明，利用不等式的性质进行放缩是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．