Question

6．已知向量$\overrightarrow a=（-3，2），\overrightarrow b=（2，1），\overrightarrow c=（3，-1），t∈R$．
（1）若$\overrightarrow a-t\overrightarrow b与\overrightarrow c$共线，求实数t；
（2）求$|{\overrightarrow a+t\overrightarrow b}|$的最小值及相应的t值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理即可得出；
（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}$=（-3-2t，2-t），
∵$\overrightarrow a-t\overrightarrow b与\overrightarrow c$共线，
∴3（2-t）+（-3-2t）=0，
解得t=$\frac{3}{5}$．
（2）$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$=（-3+2t，2+t），
∴$|{\overrightarrow a+t\overrightarrow b}|$=$\sqrt{（-3+2t）^{2}+（2+t）^{2}}$=$\sqrt{5{t}^{2}-8t+13}$=$\sqrt{5（t-\frac{4}{5}）^{2}+\frac{49}{5}}$$≥\frac{7\sqrt{5}}{5}$，当且仅当t=$\frac{4}{5}$时取等号．
∴当t=$\frac{4}{5}$时，$|{\overrightarrow a+t\overrightarrow b}|$的最小值为$\frac{7\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．