Question

2．已知$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow b|=2$．
（1）若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$；   
（2）若$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$垂直，求当k为何值时，$（k\overrightarrow a-\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）$．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，可得$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=θ=0，π．利用数量积运算性质即可得出．
（2）由$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$垂直，可得（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1．利用$（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$•$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）$=0，解出即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=θ=0，π．
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$cosθ=±1×2=±2．
（2）∵$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$垂直，∴（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1．
由$（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$•$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）$=$k{\overrightarrow{a}}^{2}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$+（2k-1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=k-8+（2k-1）=0．
解得k=3
∴当k=3时，$（k\overrightarrow a-\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）$．

点评 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．