题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)是否存在,使得
在区间
的最小值为
且最大值为1?若存在,求出
的所有值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见详解;(2) 或
.
【解析】
(1)先求的导数,再根据
的范围分情况讨论函数单调性;(2) 根据
的各种范围,利用函数单调性进行最大值和最小值的判断,最终得出
,
的值.
(1)对求导得
.所以有
当时,
区间上单调递增,
区间上单调递减,
区间上单调递增;
当时,
区间上单调递增;
当时,
区间上单调递增,
区间上单调递减,
区间上单调递增.
(2)若在区间
有最大值1和最小值-1,所以
若,
区间上单调递增,
区间上单调递减,
区间上单调递增;
此时在区间上单调递增,所以
,
代入解得
,
,与
矛盾,所以
不成立.
若,
区间上单调递增;在区间
.所以
,
代入解得
.
若,
区间上单调递增,
区间上单调递减,
区间上单调递增.
即在区间
单调递减,在区间
单调递增,所以区间
上最小值为
而,故所以区间
上最大值为
.
即相减得
,即
,又因为
,所以无解.
若,
区间上单调递增,
区间上单调递减,
区间上单调递增.
即在区间
单调递减,在区间
单调递增,所以区间
上最小值为
而,故所以区间
上最大值为
.
即相减得
,解得
,又因为
,所以无解.
若,
区间上单调递增,
区间上单调递减,
区间上单调递增.
所以有区间
上单调递减,所以区间
上最大值为
,最小值为
即解得
.
综上得或
.
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