Question

18．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y≤4\\ y≥1\end{array}$，且z=$\frac{1}{2}$x+y的最大值是M，最小值是m，若 Ma+mb=3（a，b均为正实数），则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． $\frac{9}{2}$
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 利用线性规划求出M，m，得到ab的方程，然后利用基本不等式求解$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：由题$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y≤4\\ y≥1\end{array}\right.$的可行域如图：可得A（2，2），B（3，1），C（1，1）；
z=$\frac{1}{2}$x+y经过A取得最大值是M，经过C取得最小值是m，
可求得，$M=3，m=\frac{3}{2}$，
从而$a+\frac{b}{2}=1$，
$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=（\frac{2}{a}+\frac{1}{b}）（a+\frac{b}{2}）=\frac{5}{2}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥\frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$，
当且仅当$a=b=\frac{2}{3}$时取“=”，
故选B．

点评 本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能，而且本题另外的一个重要考点是基本不等式的应用，此类问题也是非常典型的常规问题．