Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当函数仅有极小值时，不等实数满足.证明：.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）证明见详解.

【解析】

（1）求出函数的导函数，对参数进行分类讨论，判断对应情况下导数的符号，即可求得单调性；

（2）根据（1）中所求，可知，构造函数，通过求解的单调性，利用，即可证明.

（1），

当时，，由得，由得；

当时，，

由得或，由得；

当时，，

由得或，由得；

当时，恒成立，

综上得：

当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，

在，上单调递增；

当时，函数在上单调递减，

在，上单调递增；

当时，函数在上单调递增.

（2）由（1）可知时，函数仅有极小值.不妨设，

要使，则，.

令，

则，

当时，，∴函数在上单调递增，

∴当时，，即，

∴，

∵，∴，

∵，，函数在区间上单调递减，

∴，即，

∴.即证.