题目内容
【题目】已知函数.
(1)若在
上是减函数,求实数
的最大值;
(2)若,求证:
.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)根据函数单调性可将问题转化为在
上恒成立问题,通过分离变量的方式将问题转化为
,利用导数求得
的最大值,进而得到结果;
(2)将问题转化为的证明;利用
单调递增和零点存在定理可确定存在
,使得
,从而得到
;根据导函数正负可确定
单调性,进而得到
,化简后,结合基本不等式可证得结论.
由函数解析式可知,定义域为
.
(1),
在
上是减函数,
在
上恒成立,即
恒成立
令,则
,
在
上单调递增,
,
,解得:
,
的最大值为
.
(2)由(1)知:,则
,
在
上单调递增.
,当
时,
,
,此时
,
由零点存在定理可知,存在
,使得
,即
,
.
当
时,
;当
时,
,
当
时,
单调递减;当
时,
单调递增,
(当且仅当
,即
时取等号).
当
时,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】广东省的生产总值已经连续30年位居全国第一位,如表是广东省从2012年至2018年7年的生产总值以人民币(单位:万亿元)计算的数据:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
广东省生产总值y(单位:万亿元) | 5.71 | 6.25 | 6.78 | 7.28 | 8.09 | 8.97 | 9.73 |
(1)从表中数据可认为x和y的线性相关性较强,求出以x为解释变量、y为预报变量的线性回归方程(系数精确到0.01);
(2)广东省2018年人口约为1.13亿,德国2018年人口约为0.83亿.从人口数量比较看,广东省比德国人口多,但德国2018年的生产总值为4.00万亿美元,以(1)的结论为依据,预测广东省在哪年的生产总值能超过德国在2018年的生产总值?
参考数据:yi=52.81,
xiyi=230.05,
yi2=411.2153,
xi2=140.
货币兑换:1美元≈7.03元人民币
参考公式:回归方程x
中斜率
和截距
的最小二乘估计公式分别为:
,
.
【题目】某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度(肯定还是否定),进行了如下的调查研究.全年级共有名学生,男女生人数之比为
,现按分层抽样方法抽取若干名学生,每人被抽到的概率均为
.
(1)求抽取的男学生人数和女学生人数;
(2)通过对被抽取的学生的问卷调查,得到如下列联表:
否定 | 肯定 | 总计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
总计 |
①完成列联表;
②能否有的把握认为态度与性别有关?
(3)若一班有名男生被抽到,其中
人持否定态度,
人持肯定态度;二班有
名女生被抽到,其中
人持否定态度,
人持肯定态度.
现从这人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因,求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率.
解答时可参考下面临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |