题目内容
【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是
，并且经过点
.（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为
的直线
经过点
，且与椭圆交于不同的两点
,求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题（1）由椭圆的两个焦点坐标分别是
，即椭圆的焦半径
，并且经过点
，所以根据椭圆的定义求得椭圆的长半轴
，再根据
即可求出椭圆的短半轴
的值.从而得到椭圆的标准方程.
（2）假设过点
的直线，联立方程，韦达定理以及弦长公式表示出弦长.再用点到直线的距离，即可得到高.再通过换元求得最值.
试题解析：（1）设椭圆的标准方程为
，有椭圆的定义可得
又
故椭圆的标准方程为
（2）设直线
的方程为
，
由
得
，依题意
，
设
，
则
，
，
由点到直线的距离公式得
，
设
，
当且仅当
时，上式取等号，
所以，
面积的最大值为1
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