题目内容
如图所示,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=EC·EB.
证明略
证明 如图所示,因为AE是圆的切线,
所以∠ABC=∠CAE.
又因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD.
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD.
因为∠ADE=∠ABC+∠BAD,
∠DAE=∠CAE+∠CAD,
所以∠ADE=∠DAE,故EA=ED.
因为EA是圆的切线,所以由切割线定理知,
EA2=EC·EB,
而EA=ED,所以ED2=EC·EB.
所以∠ABC=∠CAE.
又因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD.
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD.
因为∠ADE=∠ABC+∠BAD,
∠DAE=∠CAE+∠CAD,
所以∠ADE=∠DAE,故EA=ED.
因为EA是圆的切线,所以由切割线定理知,
EA2=EC·EB,
而EA=ED,所以ED2=EC·EB.
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