题目内容

8.在正四面体ABCD中,有如下四个命题:①AB⊥CD;②该四面体外接球的半径与内切球半径之比为2:1;③分别取AB,BC,CD,DA的中点E,F,G,H并顺次连结所得四边形是正方形;④三组对棱中点的连线段交于一点并被该点平分.则其中为真命题的序号为①③④.(填上你认为是真命题的所有序号).

分析 ①利用正四面体的定义和三垂线定理判断正误即可;
②设正四面体ABCD的边长为a,其外接球的半径为R,内切切的半径为r,由正四面体放到正方体中,正方体的体对角线即为外接球的直径,以及通过体积分割,运用棱锥的体积公式可得内切球的条件,求出结果判断正误即可;
③由中位线定理和正四面体的性质:对角线互相垂直,即可判断;
④利用③的结论和正方形的对角线垂直平分,判断正误即可.

解答 解:对于①,由正四面体的定义可得,A在底面BCD的射影为底面的中心,由三垂线定理可得AB⊥CD,
所以①正确;
对于②,设正四面体ABCD的边长为a,其外接球的半径为R,内切切的半径为r,则正四面体的边长可看成是正方体的面对角线,外接球的直径即为体对角线的长,即有2R=$\sqrt{3}$$•\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a;由内切球的球心与正四面体的表面构成四个三棱锥,由体积分割可得$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2•$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=4•$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2•r,解得r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a,即有R:r=3:1,
所以②不正确;
对于③,由中位线定理可得EF∥AC,EF=AC,且GH∥AC,GH=AC,即有四边形EFGH为平行四边形,又由正四面体的性质可得AC⊥BD,即有四边形EFGH为正方形,所以③正确;
对于④,由③可得正方形EFGH对角线交于一点且平分,同理对棱AC,BD和对棱AB,CD的中点连线也互相平分,
则三组对棱中点的连线段交于一点并被该点平分,所以④正确.
故答案为:①③④

点评 本题考查正四面体的性质和内切球与外接球的半径的关系,考查直线与直线的位置关系,考查推理和判断能力,属于中档题和易错题.

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