题目内容
【题目】已知椭圆过点
,且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
、
两点,以
为对角线作正方形
,记直线
与
轴的交点为
,问
、
两点间距离是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:
(1)利用题意确定 的值即可求得椭圆的标准方程;
(2)利用题意联立直线与椭圆的方程,利用弦长公式求得 的值,最后利用勾股定理进行计算,证得
为定值即可.
试题解析:
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为.
因为点在椭圆
上,所以
.故
.
又因为,所以
,
.
所以椭圆的标准方程为:
.
(Ⅱ)设,
,线段
中点为
.
联立和
,得:
.
由,可得
.
所以,
.
所以中点为
.
弦长
,
又直线与
轴的交点
,
所以.
所以
.
所以、
两点间距离为定值
.
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