Question

【题目】如图，已知四棱锥的底面是菱形， 平面， ，点为的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】试题分析：

(1)由题意可证得，结合直线与平面平行的判定定理即可证得平面；

(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的余弦值是

试题解析：

（1）连结与交于点，连结.

∵是菱形，∴是的中点，∵点为的中点，∴.∵平面， 平面，∴平面.

（2）∵是菱形，且，∴是正三角形.如图，以点为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线为轴， 所在直线为轴， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系，令，则.

所以，设平面的一个法向量为，由，得 ，令，则，∴，

∵平面， 平面，∴.

∵，∴.

∵是菱形，∴.

∵，∴平面.

∴是平面的一个法向量， ，∴，

∴二面角的余弦值是.