Question

【题目】已知函数与的图象在点处有相同的切线．

（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数有两个极值点， ，且，证明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）证明过程见解析；

【解析】（Ⅰ）首先根据两函数在某点处有相同的切线，建立关于两函数解析式中参数的方程，求得两函数的解析式，再由题意构造新函数，将问题转化为新函数的单调性与最值问题进行求解；（Ⅱ）由题意，可将问题转化为其导数的两个根，再根据其函数的单调性，从而证明不等式立.

试题解析：（Ⅰ）因为， ，根据题意，得解得

所以．　

设，则，

当时， ，当时， ，

所以，

又因为→时， →；当→时， →，

故欲使两图象有两个交点，只需， ，

所以实数的取值范围为.

（Ⅱ）由题意，函数，其定义域为，

，

令，得，其判别式，

函数有两个极值点， ，等价于方程在内有两不等实根，又，故．

所以，且， ，

，

令， ，

则，

由于，∴，故在上单调递减．

故．

所以，

所以．