题目内容
【题目】已知函数f(x)=2x+2﹣x . (Ⅰ)试写出这个函数的性质(不少于3条,不必说明理由),并作出图象;
(Ⅱ)设函数g(x)=4x+4﹣x﹣af(x),求这个函数的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)偶函数;定义域R;值域{y|y≥2}; 单调递增区间:(0,+∞),单调递减区间:(﹣∞,0)等
图象如图:.
(Ⅱ)设2x+2﹣x=t(t≥2),则4x+4﹣x=t2﹣2,设k(t)=t2﹣2﹣at=t2﹣at﹣2,
时,k(t)min=k(2)=2﹣2a;
时
.
所以, 时,g(x)min=2﹣2a;
时
.
【解析】(Ⅰ)列出函数的偶函数;定义域R;值域;单调递增区间,单调递减区间,选择3项即可,画出图象.(Ⅱ)设2x+2﹣x=t(t≥2),则4x+4﹣x=t2﹣2,设k(t)=t2﹣2﹣at=t2﹣at﹣2,通过a与2讨论,利用二次函数的最值求解即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点,需要掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值才能正确解答此题.
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