Question

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，$\frac{2sinA}{a}$=$\frac{tanC}{c}$，且sin（A-B）+siC=2sin2B，则$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{1}{2}$或2．

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知可解得：cosC=$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，化简已知等式可得sinAcosB=2sinBcosB①，分情况讨论即可得解．

解答 解：∵$\frac{2sinA}{a}$=$\frac{tanC}{c}$=$\frac{sinC}{ccosC}$，
∴由正弦定理可得：a=2RsinA，c=2RsinC，即可解得：cosC=$\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，
∵sinC+sin（A-B）=sin（B+A）+sin（A-B）=2sin2B，
∴sinAcosB=2sinBcosB①，
∴当cosB=0时，B=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，可得：$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{1}{2}$；
当cosB≠0时，由①可得：$\frac{sinA}{sinB}$=2．
故答案为：$\frac{1}{2}$或2．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和于差的正弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．