Question

13．已知函数f（x）=1og_ax，g（x）=2log_a（2x+2）（a＞0且a≠1）
（1）判断函数h（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的单调性并证明：
（2）当x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值-2时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）函数h（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．运用单调性的定义，即可得证；
（2）F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+2）-1og_ax=log_a$\frac{4（x+1）^{2}}{x}$=log_a4（x+$\frac{1}{x}$+2），由（1）的结论，讨论a＞1，0＜a＜1的单调性，求得最小值，解方程可得a的值．

解答 解：（1）函数h（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．
证明：设0＜m＜n，h（m）-h（n）=（m+$\frac{1}{m}$）-（n+$\frac{1}{n}$）
=（m-n）（1-$\frac{1}{mn}$），
当0＜m＜n＜1，可得m-n＜0，0＜mn＜1，即1-$\frac{1}{mn}$＜0，
即有h（m）-h（n）＞0，则h（x）在（0，1）递减；
当1＜m＜n，可得m-n＜0，mn＞1，即1-$\frac{1}{mn}$＞0，
即有h（m）-h（n）＜0，则h（x）在（1，+∞）递增．
（2）F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+2）-1og_ax
=log_a$\frac{4（x+1）^{2}}{x}$=log_a4（x+$\frac{1}{x}$+2），
当a＞1时，F（x）在[1，2]递增，即有x=1取得最小值，
即为log_a16=-2，即a^-2=16，解得a=$\frac{1}{4}$＜1不成立；
当0＜a＜1时，F（x）在[1，2]递减，即有x=2取得最小值，
即为log_a18=-2，即a^-2=18，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{6}$＜1，成立．
综上可得a=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用，考查复合函数的单调性：同增异减，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．