Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+b}$为定义在R上的奇函数．
（1）求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）判断f（x）在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，f（1）=-f（-1），代入数据，计算可得a、b的值；
（2）首先对f（x）的表达式变形可得f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，用作差法判断函数单调性即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+b}$定义在R上的奇函数，
则有f（0）=0，即$\frac{1-a}{1+b}$=0，解可得a=1；
又f（1）=-f（-1），即$\frac{2-a}{2+b}$=-$\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+b}$，解可得b=1．
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；
（2）由（1）可得，f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）是增函数．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．