题目内容
【题目】定义区间,,,的长度均为,其中.
(1)已知函数的定义域为,值域为,写出区间长度的最大值与最小值.
(2)已知函数的定义域为实数集,满足 (是的非空真子集).集合, ,求的值域所在区间长度的总和.
(3)定义函数,判断函数在区间上是否有零点,并求不等式解集区间的长度总和.
【答案】(1)最大值为,最小值为;(2);(3)方程在区间内有一个解,解集区间的长度总和10
【解析】
(1)利用数形结合求出即可;(2)求出两区间长度作和即可;(3)根据题意可得方程在区间内各有一个解,依次记这个解为,则可得,
对进行通分处理,分子记为,有,又有,通过上面三个关系式,比较可得出结论.
解:(1),
解得或,
,解得,
画图可得:区间长度的最大值为,
最小值为;
(2)
当,,
当,,
所以时,
所以值域区间长度总和为;
(3)由于当时,取,,
取,,
所以方程在区间内有一个解
考虑函数,由于当时,,故在区间内,不存在使的实数;
对于集中的任一个,由于当时,
取,,取,
又因为函数在区间内单调递减,
所以方程在区间内各有一个解;
依次记这个解为,
从而不等式的解集是,故得所有区间长度的总和为
………①
对进行通分处理,分子记为
如将展开,其最高项系数为,设
②
又有 ③
对比②③中的系数,
,
可得:.
【题目】某绿色有机水果店中一款有机草莓味道鲜甜,店家每天以每斤元的价格从农场购进适量草莓,然后以每斤元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的草莓由果汁厂以每斤元的价格回收.
(1)若水果店一天购进斤草莓,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:斤,)的函数解析式;
(2)水果店记录了天草莓的日需求量(单位:斤),整理得下表:
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 14 | 22 | 14 | 16 | 15 | 13 | 6 |
①假设水果店在这天内每天购进斤草莓,求这天的日利润(单位:元)的平均数;
②若水果店一天购进斤草莓,以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于元的概率.